1.4 삼각형 닮음의 활용

HOOK

하나의 직각삼각형 안에 세 개의 닮음이 숨어 있다

Drop a perpendicular from the right angle — three similar triangles appear at once.

지금까지 닮음의 정의와 성질, 닮음 조건, 그리고 평행선이 만드는 비례 관계를 배웠습니다. 이제 이 모든 도구를 활용해 더 깊은 결과를 만나봅니다.

첫 번째 응용 — 직각삼각형의 닮음. 직각삼각형 $\triangle ABC$ ($\angle C = 90°$)에서 빗변 $\overline{AB}$에 직각의 꼭짓점 $C$로부터 수선을 내리면, 놀랍게도 세 개의 닮은 삼각형이 동시에 만들어집니다. 이 닮음으로부터 빗변·수선·분할 사이의 우아한 관계식들이 따라옵니다.

두 번째 응용 — 피타고라스 정리. $a^2 + b^2 = c^2$. 직각삼각형의 닮음을 이용하면 이 가장 유명한 정리를 두 줄로 증명할 수 있습니다.

세 번째 응용 — 실생활. 탈레스가 그림자로 피라미드를 측정했듯이, 우리도 닮음으로 키·높이·거리를 잴 수 있습니다.

$C \to \overline{AB}$의 수선 → 세 닮은 삼각형 출현

CORE CONCEPT

직각삼각형의 닮음

One right triangle, three similar pieces, four powerful relations.

THEOREM · 세 닮음

직각삼각형에서 빗변에 내린 수선이 만드는 세 닮은 삼각형

직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\angle C = 90°$이고, $C$에서 빗변 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 그러면 — 원래의 $\triangle ABC$를 포함해 — 3개의 삼각형이 모두 서로 닮음입니다.

$\triangle ABC \sim \triangle ACH \sim \triangle CBH$
All three share the same shape.

왜 닮음인가? 세 삼각형 모두 직각 + 공통 예각을 가집니다. AA 닮음. 예를 들어 $\triangle ABC$와 $\triangle ACH$는 $\angle A$ 공통 + 둘 다 직각.

RELATION 1

한 다리의 제곱

$\overline{AC}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{AH}$

한 다리의 제곱은 빗변 × 인접한 분할. $\triangle ABC \sim \triangle ACH$의 대응변 비에서 도출.

RELATION 2

다른 다리의 제곱

$\overline{BC}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{BH}$

대칭적으로 다른 다리도 같은 형태. $\triangle ABC \sim \triangle CBH$의 비에서.

RELATION 3 ★

수선의 제곱

$\overline{CH}^2 = \overline{AH} \cdot \overline{BH}$

수선의 길이의 제곱은 분할된 두 부분의 곱. $\triangle ACH \sim \triangle CBH$의 비에서. 기하평균이라 불립니다.

RELATION 4

넓이의 두 표현

$\overline{AC} \cdot \overline{BC} = \overline{AB} \cdot \overline{CH}$

두 다리의 곱 = 빗변과 수선의 곱. 같은 넓이를 두 가지 방법으로 표현 → $2S = ab = c \cdot h$.

PROOF · Relation 1의 증명

$\overline{AC}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{AH}$임을 보이라.

$\triangle ABC$와 $\triangle ACH$에서

$\angle A$ 공통
$\angle ACB = \angle AHC = 90°$

⟹ AA 닮음에 의해 $\triangle ABC \sim \triangle ACH$.

대응변의 비: $\overline{AB} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{AH}$

외항·내항의 곱이 같으므로 $\overline{AC}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{AH}$. Q.E.D.

BONUS · PYTHAGORAS

피타고라스 정리

Direct proof using right-triangle similarity.

THEOREM · 피타고라스

$a^2 + b^2 = c^2$ (직각삼각형의 가장 유명한 정리)

직각삼각형 $\triangle ABC$에서 직각이 $\angle C = 90°$일 때, 두 다리 $a, b$와 빗변 $c$ 사이에는 다음 관계가 성립합니다.

$a^2 + b^2 = c^2$
The square of the hypotenuse equals the sum of squares of the legs.

닮음을 이용한 증명 (단 2줄!): 직각삼각형의 닮음에서 도출한 Relation 1, 2를 더하면:

$\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{AH} + \overline{AB} \cdot \overline{BH}$
$= \overline{AB} \cdot (\overline{AH} + \overline{BH}) = \overline{AB} \cdot \overline{AB} = \overline{AB}^2$
i.e. $a^2 + b^2 = c^2$. Q.E.D.

이렇게 직각삼각형의 닮음 한 가지만 알면 피타고라스 정리까지 자동으로 따라옵니다 — 닮음의 강력함이 드러나는 순간입니다.

REAL-WORLD

실생활 활용

From Thales' pyramid to maps — similarity in everyday measurement.

그림자로 높이 측정 — 탈레스의 방법

햇빛이 비치는 같은 시각, 모든 물체와 그 그림자가 만드는 직각삼각형은 모두 닮음입니다 (같은 태양 각도 → 같은 모양). 따라서:

$\dfrac{\text{내 키}}{\text{내 그림자}} = \dfrac{\text{나무 높이}}{\text{나무 그림자}}$
$\dfrac{1.6}{2} = \dfrac{h}{8}$ → $h = 6.4$m

탈레스는 이 방법으로 거대한 피라미드의 높이를 잰 첫 인물. 도구는 단 하나 — 막대와 닮음.

지도의 축척 (Scale)

지도와 실제 지형은 닮음 관계. 지도와 실제의 닮음비를 축척이라 합니다. 축척 $1 : 50{,}000$이라면 지도에서 $1$cm는 실제 $50{,}000$cm $= 500$m.

지도 거리 × 축척 = 실제 거리

예: 지도에서 $6$cm → 실제 $6 \times 50{,}000 = 300{,}000$cm $= 3$km.

INTERACTIVE

직각삼각형 닮음 탐험기

Drop the perpendicular from $C$ — observe how all three triangles share the same shape.

RIGHT TRIANGLE EXPLORER

두 다리의 길이 $a, b$를 바꾸면서 관계식 확인

다리 $\overline{BC} = a$

$a$ = 180

다리 $\overline{AC} = b$

$b$ = 120

빗변 $\overline{AB} = c$ 216 (피타고라스)
수선 $\overline{CH} = h$ 100
$\overline{AH}$ 67 ($b^2/c$)
$\overline{BH}$ 150 ($a^2/c$)
$h^2 = $ 10000 vs $\overline{AH} \cdot \overline{BH} = $ 10050 ✓

QUICK CHECK

개념 확인 5

Quick checks on similarity applications.

Q · 01

직각삼각형에서 빗변에 내린 수선이 만드는 세 삼각형의 관계는?

풀이: 세 삼각형 모두 직각 + 공통 예각 (AA 닮음) → 서로 닮음.

Q · 02

직각삼각형 $\triangle ABC$ ($\angle C = 90°$), $C$에서 빗변에 내린 수선의 발 $H$. $\overline{AH} = 4$, $\overline{BH} = 9$일 때 $\overline{CH}$의 길이는?

풀이: $\overline{CH}^2 = \overline{AH} \cdot \overline{BH} = 4 \cdot 9 = 36$. $\overline{CH} = 6$.

Q · 03

"$a^2 + b^2 = c^2$" 정리의 이름은?

풀이: 직각삼각형의 가장 유명한 정리 — 피타고라스의 정리.

Q · 04

직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\angle C = 90°$, $\overline{AC} = 12$, $\overline{BC} = 5$. 빗변 $\overline{AB}$의 길이는?

풀이: 피타고라스 — $\overline{AB}^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$. $\overline{AB} = 13$.

Q · 05

키 $1.5$m인 사람의 그림자가 $2$m, 같은 시각 건물의 그림자가 $12$m. 건물의 높이는?

풀이: 닮음 → $\dfrac{1.5}{2} = \dfrac{h}{12}$ → $h = \dfrac{1.5 \times 12}{2} = 9$m.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Applying right-triangle similarity and real-world similarity.

EXAMPLE · 01

직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\angle C = 90°$이고 $C$에서 빗변 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $\overline{AH} = 3$, $\overline{BH} = 12$일 때 $\overline{CH}$의 길이를 구하라.

핵심: Relation 3 — 수선의 제곱은 분할된 두 부분의 곱.

STEP 1 · 공식 적용

$\overline{CH}^2 = \overline{AH} \cdot \overline{BH} = 3 \cdot 12 = 36$.

STEP 2 · 길이 계산

$\overline{CH} = \sqrt{36} = 6$.

답: $\overline{CH} = 6$

EXAMPLE · 02

키가 $1.6$m인 사람이 햇빛 아래 서 있을 때 그림자의 길이가 $2$m였다. 같은 시각 옆에 있는 큰 나무의 그림자가 $8$m라면 나무의 높이는 몇 m인가?

핵심: 사람과 그림자가 만든 삼각형과 나무와 그림자가 만든 삼각형이 닮음.

STEP 1 · 닮음 관계 설정

같은 시각이므로 햇빛의 각도가 같다 → 두 직각삼각형(사람+그림자, 나무+그림자)이 닮음.

STEP 2 · 비례식

$\dfrac{\text{사람 키}}{\text{사람 그림자}} = \dfrac{\text{나무 높이}}{\text{나무 그림자}}$ → $\dfrac{1.6}{2} = \dfrac{h}{8}$.

STEP 3 · $h$ 계산

$h = \dfrac{1.6 \times 8}{2} = \dfrac{12.8}{2} = 6.4$.

답: 나무의 높이 $= 6.4$m

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

직각삼각형에서 빗변에 내린 수선이 만드는 세 삼각형은 서로 어떤 관계? (합동/닮음)

힌트: 모두 같은 각을 공유 → AA.

P · 02★

직각삼각형 $\triangle ABC$ ($\angle C = 90°$), 빗변 $\overline{AB} = 18$, $\overline{AH} = 2$. $\overline{AC}$의 길이는?

힌트: $\overline{AC}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{AH} = 18 \cdot 2 = 36$.

P · 03★

$\overline{AH} = 4$, $\overline{BH} = 9$인 직각삼각형에서 수선 $\overline{CH}$의 길이는?

힌트: $\overline{CH}^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

P · 04★★

키 $1.5$m인 사람의 그림자가 $2$m. 같은 시각 건물의 그림자가 $12$m. 건물의 높이는?

힌트: $\dfrac{1.5}{2} = \dfrac{h}{12}$. 외항·내항 곱.

P · 05★★

직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\overline{AC} = 6, \overline{BC} = 8, \overline{AB} = 10$. $C$에서 빗변에 내린 수선 $\overline{CH}$의 길이는?

힌트: 넓이 두 표현 — $\dfrac{1}{2}(6)(8) = \dfrac{1}{2}(10)(\overline{CH})$. $24 = 5\overline{CH}$.

P · 06★★

$\angle C = 90°$, $\overline{AC} = 12, \overline{BC} = 5$인 직각삼각형의 빗변 $\overline{AB}$의 길이는? (피타고라스)

힌트: $\overline{AB}^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25$.

P · 07★★★

직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\angle C = 90°$, $\overline{AH} = 4$, $\overline{AC} = 6$일 때 빗변 $\overline{AB}$의 길이는?

힌트: Relation 1 — $\overline{AC}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{AH}$. $36 = \overline{AB} \cdot 4$.

P · 08★★★

지도의 축척이 $1 : 50{,}000$이다. 지도에서 두 지점 사이의 거리가 $6$cm일 때 실제 거리는 몇 km인가?

힌트: 실제 = $6 \times 50{,}000$ cm = $300{,}000$cm = $3{,}000$m.

LESSON WRAP-UP

한 줄 요약

직각삼각형에서 빗변에 내린 수선은 세 개의 닮은 삼각형을 만들고, 그로부터 4가지 관계식이 도출된다. 이 관계식들을 두 개 더하면 피타고라스 정리가 자동으로 따라온다. 그리고 같은 닮음 원리로 그림자·축척 같은 실생활 문제까지 해결할 수 있다.

세 닮은 삼각형 CH² = AH·BH a² + b² = c² 그림자 · 축척